Algebra: septiembre 2011

martes, 13 de septiembre de 2011

Funcion Logaritmica

x
1/8	-3
1/4	-2
1/2	-1
1	0
2	1
4	2
8	3

x
1/8	3
1/4	2
1/2	1
1	0
2	−1
4	−2
8	−3

y = 2^x

y = log₂ x

FUNCIÓN LOGARITMICA

Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (o potencia) a la que un número fijo (base b) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la funcion inversa de b a la potencia n. Esta función se escribe como:n = log_b x, lo que permite obtener n.

$\log_b x = n\Leftrightarrow\ x = b^n\,$

(esto se lee como: logaritmo en base "b" de "x" es igual a "n"; sí y sólo si "b" elevado a la "n" da por resultado a "x")

La base b tiene que ser positiva y distinta de 1 $(b>0, b \ne 1)\,$ .
x tiene que ser un número positivo $(x>0)\,$ .
n puede ser cualquier número real $(n\in\mathbb{R})\,$ .

Así, en la expresión 10² = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log₁₀ 100 = 2.

Funcion Exponencial

x	y = 2^x
-3	1/8
-2	1/4
-1	1/2
0	1
1	2
2	4
3	8

x	y = 2^x
-3	8
-2	4
-1	2
0	1
1	1/2
2	1/4
3	1/8

f(x)= 2 ^{(x + 2)}

^{X Y}

1 -2

2 -1

4 0

8 1

16 2

La función exponencial, es conocida formalmente como la funcion real e^x, donde e es el numero de Euler, aproximadamente 2.71828.... Esta función tiene por dominio de definicion el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=e^x o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la funcion inversa del logaritmo natural.

En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma

$E(x)=K \cdot a^x$

siendo $a, K \in \mathbb{R}$ numeros reales, $a\geq 0$ . Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.

lunes, 12 de septiembre de 2011

Funciones Cuadraticas

FUNCIONES

f(x) = x² -2 x - 3.

x	-1	0	1	2	3	4
y	0	-3	-4	-3	0	5

Gráfica Y Funciones

f(x) = -x²+ 4x - 3

El vertice En X seria:

-4/-2 = 2

El vertice en Y seria:

-2²+4·2-3 =1

f(x)=x²-4x+4

x	-2	-1	0	1	2	X1=2
y	0	-3	-4	-3	0	X2=2

ECUACIONES:

X² + 2x – 8 = 0

x = -2 ± 6
          2
X =  -2 + 6     x = -2 - 6
           2                  2

   x = 4          x = -8
        2                  2
x = 2      x = - 4

x² +3x − 4 = 0

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca.

x · (55 − x) = 750

x² − 55x + 750 = 0

x = 25 x = 30

Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m².

(50 + 2x) · (34 + 2x) − 50 · 34 = 540

4x² + 168x − 540 = 0

x² + 42x − 135 = 0

x = 3 y x = −45

Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medidas en centímetros tres números pares consecutivos. Halla los valores de dichos lados.

1^ercateto

2º cateto

2x + 2

Hipotenusa

2x + 4

(2x)² + (2x + 2)² = (2x + 4)²

4x² + 4x² + 8x + 4 = 4x² + 16x + 16

4x² − 8x − 12 = 0 x² − 2x − 3 = 0

x = 3 y x= −1

1^ercateto

6 cm

2º cateto

8 cm

Hipotenusa

10 cm

Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha. Con ella se construye una caja de 840 cm³ cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las dimensiones de la caja.